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La intensidad de la radiación emitida por un cuerpo negro con una temperatura T viene dada por la ley de Planck:

Ley de planck

$ I(\nu ,T) = \frac{2h\nu^{3}}{c^2}\frac{1}{\exp({h\nu}/kT)-1} $

donde

La longitud de onda en la que se produce el máximo de emisión viene dada por la ley de Wien y la potencia total emitida por unidad de área viene dada por la ley de Stefan-Boltzmann. Por lo tanto, a medida que la temperatura aumenta el brillo de un cuerpo cambia del rojo al amarillo y al azul.

Poder emisivo

Se llama Poder emisivo espectral de un cuerpo $ E(\nu, T) \, $ a la cantidad de energía radiante emitida por la unidad de superficie y tiempo entre las frecuencias $ \nu \, $ y $ \nu + \delta \nu \, $. Se trata por tanto de una potencia.

$ E(\nu ,T)= \pi \cdot I(\nu , T)=\frac{2\pi h\nu^{3}}{c^2}\frac{1}{\exp({h\nu}/kT)-1} $

Consideremos el intervalo de frecuencias entre $ \nu \, $ y $ \nu + \delta \nu \, $ y sea dE el poder emisivo del cuerpo en el intervalo de frecuencias.

$ dE=E(\nu ,T) d \nu \, $

considerando que la longitud de onda se relaciona con la frecuencia:

$ \lambda=\frac{c}{\nu} $ y por tanto $ d\nu=\frac{-c}{(\lambda)^2}d\lambda $

resulta que el poder emisivo espectral en función de la longitud de onda es:

$ E(\lambda,T)={C_1 \over \lambda^5 \cdot (e^{C_2 \over \lambda \cdot T}-1)} $

donde las constantes valen en el Sistema Internacional de Unidades o sistema MKS:

$ C_1=2 \pi h c^2=3,742 \cdot 10^{-16} {W \cdot m} \, $
$ C_2={h c \over k}=1,439 \cdot 10^{-2} {m \cdot K} $

De la Ley de Planck se derivan la ley de Stefan-Boltzmann y la ley de Wien.

Unidades

Si usamos el Sistema Internacional de Unidades o sistema MKS, la longitud de onda se expresaría en metros, el poder emisivo en un intervalo de frecuencias dE en $ \frac{W}{m^2} $ y el poder emisivo por unidad de longitud o poder emisivo espectral $ E(\lambda ,T)=\frac{dE}{d\lambda} $ en $ \frac{W}{m^3} $ vatios por metro cúbico.


No es lógico expresar la longitud de onda en metros. Con frecuencia resulta cómodo expresarla en nanómetros llamados antiguamente milimicras $ 1 nm=10^{-9}m $, pero manteniendo la unidad de dE en $ \frac{W}{m^2} $, en este caso:

$ \frac {C_1 \cdot d\lambda }{\lambda ^5}=3,742 \cdot 10^{20} {W \cdot m} \cdot \frac {d\lambda (nm)}{\lambda ^5 (nm)}\, $
$ \frac {C_2}{\lambda }=1,439 \cdot 10^7 \frac {m \cdot K}{\lambda (nm)} $


Si queremos expresar el poder emisivo espectral $ E(\lambda ,T) \, $ en la unidad práctica $ \frac{cal}{cm^2 \cdot mto \cdot \mu m} $, donde $ 1 \mu m=10^{-6}m $ es 1 micrómetro o micra se puede usar el factor de conversión:

$ 1 \frac{W}{m^3}=1,434 \cdot 10^{-9}\frac{cal}{cm^2 \cdot mto \cdot \mu m} $

Ejemplos de la ley de Planck

  • La aplicación de la Ley de Planck al Sol con una temperatura superficial de unos 6000 K nos lleva a que el 99% de la radiación emitida está entre las longitudes de onda 0,15 $ \mu m $ (micrómetros o micras) y 4 micras y su máximo (Ley de Wien) ocurre a 0,475 micras. Como 1 angstrom 1 Å= 10-10 m=10-4 micras resulta que el Sol emite en un rango de 1500 Å hasta 40000 Å y el máximo ocurre a 4750 Å. La luz visible se extiende desde 4000 Å a 7400 Å. La radiación ultravioleta u ondas cortas iría desde los 1500 Å a los 4000 Å y la radiación infrarroja u ondas largas desde las 0,74 micras a 4 micras.
  • La aplicación de la Ley de Planck a la Tierra con una temperatura superficial de unos 288 K (15ºC) nos lleva a que el 99% de la radiación emitida está entre las longitudes de onda 3 $ \mu m $ (micrómetros o micras) y 80 micras y su máximo ocurre a 10 micras. La estratosfera de la Tierra con una temperatura entre 210 y 220 K radia entre 4 y 120 micras con un máximo a las 14,5 micras.

Véase también

Enlaces externos

Bibliografía

  • Emilio A. Caimi "La energía radiante en la atmósfera" EUDEBA 1979